Op universiteiten, hogescholen en andere onderwijsinstellingen zitten voortdurend studenten te zweten op hun tentamens. De Ingenieur vroeg zich af: wat brengt u er nog van terecht? Hier vindt u de antwoorden op de laatste vraag die in het blad heeft gestaan. 

Het vak

De volgende vragen komen uit een tentamen van het eerstejaarsvak Lineaire Algebra uit de Bachelor Circular Engineering van Universiteit Maastricht. We ontvingen ze van de cursuscoördinator, wiskundig ingenieur Martijn Boussé.

In de lineaire algebra wordt veel gebruik gemaakt van matrices en vectoren. Dit zijn fundamentele wiskundige structuren om getallen te ordenen, wiskundige bewerkingen uit te voeren en verbanden te ontdekken – dit laatste aan de hand van bepaalde eigenschappen van de matrices en vectoren die men kan berekenen.

Typische tentamenvragen in de lineaire algebra zijn waar/onwaar-vragen en constructievragen, waarbij de studenten de definities scherp moeten hebben. 

De vragen

1) Zijn de volgende stellingen waar of onwaar? En waarom?

 a)       Een 123456789 x 123456789 matrix waarvan alle elementen gelijk zijn aan 1/123456789 heeft slechts één eigenwaarde die verschillend is van nul, en die is gelijk aan 1.

 b)      Er bestaan geen niet-nulvectoren die zich zowel in de nulruimte als in de kolomruimte van een matrix bevinden.

 2) Construeer een diagonaliseerbare en inverteerbare matrix met orthogonale kolommen waarvan alle elementen verschillend zijn van nul. 

De antwoorden

1) Waar. De matrix heeft eigenwaarde nul omdat hij lineair afhankelijke kolommen heeft, en hij heft eigenwaarde 1 omdat alle rijen optellen tot 1.

De nulliteit van de matrix is 123456789−1 omdat er maar één pivot is, dus de multipliciteit van de eigenwaarde 0 is 123456789 − 1. De enige andere eigenwaarde is 1.

2) Onwaar. Tegenvoorbeeld: de vector v = [2 1]^T bevindt zich in de kolomruimte én de nulruimte van de matrix A = [-2 4; -1 2]. Dan geldt namelijk  Av = 0 en v = -1*a1 + 0*a2.

3) Bijvoorbeeld [-2 1; 1 2]. Deze matrix is symmetrisch dus (orthogonaal) diagonaliseerbaar volgens de spectraalstelling. Hij heeft geen proportionele kolommen en is dus inverteerbaar. En het inproduct van de kolommen is nul, dus zijn de kolommen orthogonaal.